O que é geometria euclidiana?

Nessa newsletter, escolhi dar um passeio simples da história da geometria euclidiana. Não é muito, mas foi o que deu.

De forma ingênua, a geometria euclidiana é a geometria que se aprende na escola ou semelhantes: o que é um triângulo, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, e todas as formas geométricas derivadas dessa noção. As outras geometrias (chamadas de geometrias não-euclidianas) se diferenciam pela noção de paralelismo. Mais precisamente, pensamos em paralelismo (no plano!) como duas retas dispostas de tal forma que elas nunca se cruzem. Para as outras geometrias, isso não é tão verdade. Por exemplo, na geometria euclidiana, a definição que demos de paralelismo pode ser traduzido por: dada uma reta r e um ponto Q, existe uma única reta s tal que a distância h é sempre constante, como abaixo.

Um questionamento que pode ser feito é a necessidade dessa distância ser fixa. Ou seja, se variarmos o valor de h, estaremos mudando "a geometria". Por exemplo, o seguinte quadrilátero

é chamado de quadrilátero de Saccheri. Esse quadrilátero questiona justamente a necessidade da soma dos ângulos internos ser 360°.

Nessa newsletter, tentarei dar um resumo do nascimento da geometria euclidiana com alguns fatos históricos e o que der na minha cabecinha.

Os Elementos

Em 300 antes da Era Comum foi-se escrito o livro "Os Elementos" em que nele foi englobado a maioria dos resultados sabidos da época em treze livros, com suas provas em detalhes. A produção do livro foi dita ser feita por Euclides, e dela nasceu o que chamamos de geometria euclidiana.

Um ponto da sua diferença com os outros livros matemáticos populares na Grécia era o fato dele começar dizendo como a geometria funciona. Mais precisamente, ele axiomatizou (postulou e definiu) coisas ‘‘naturais’’, isto é, definiu os elementos que seriam usados que não há uma definição a partir de coisas sabidas. Por exemplo, abaixo seguem definições dadas no livro (que não estão na ordem):

• Ponto é aquilo de que nada é parte;

• Linha é comprimento sem largura;

• Extremidades de uma linha são pontos;

• Linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma;

• Círculo é uma figura plana contida por uma linha [que é chamada circunferência], em relação a qual todas as retas que a encontram [até a circunferência do círculo], a partir de um ponto dos postos no interior da figura, são iguais entre si;

• O ponto é chamado de centro do círculo;

• Paralelas são retas que, estão no mesmo plano, e sendo prolongadas ilimitadamente em cada um dos lados, em nenhum se encontram.

A partir da definição dos elementos primitivos, ele propõe cinco postulados sobre como a geometria funciona, e, a partir daí, se é demonstrado diversas construções utilizando apenas régua e compasso (ou os seus equivalentes).

1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.

2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.

3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.

4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.

5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e

   do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas

   retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores

   do que dois retos.

Voltando para o livro. A primeira construção que o livro faz é sobre como construir um triângulo equilátero a partir de um segmento de reta. Para fazer essa construção, comecemos com um segmento de reta AB

Traçamos agora um círculo com centro em A e raio AB.

Façamos o mesmo agora com o centro B

Agora, podemos conectar os pontos A e B com o ponto C, abaixo

Nota que a sua demonstração é puramente construtiva e utiliza todos os objetos apresentados. Similarmente, outros resultados decorrem deste tipo de demonstração e pensamento.

Dentre todos os postulados usados na geometria euclidiana, o mais questionável foi o quinto, conhecido como postulado das paralelas. Questionável, pois, acreditava-se que, na verdade, ele se derivava dos outros postulados. Esse questionamento foi um dos gatilhos para começar o estudo de geometrias não-euclidianas.

Mais precisamente, durante muito tempo, várias pessoas tentaram provar o postulado das paralelas seja pelos axiomas anteriores, ou seja, adicionando axiomas diferentes (e, depois, percebendo que eles eram equivalentes ao quinto postulado). O exemplo que mostramos acima, do quadrilátero de Saccheri, foi uma tentativa de demonstração por absurdo de Saccheri, argumentando o valor da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

🚨🚨🚨 Acabou o tempo 🚨🚨🚨

Aqui eu usei os livros

Os Elementos - Euclides, traduzido por Irineu Bicudo. UNESP, 2009.

Greenberg, M. J. (2008). Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. W. H. Freeman and Company, New York.